オイラー 角 回転 行列。 オイラー角について

オイラー角と回転行列

オイラー 角 回転 行列

この文書は「よくわかる解析力学」【東京図書】の付録C. 2節(344ページ)で説明しているオイラー角を動く図を使って説明したものです。 webGLという3Dのライブラリが動かないブラウザ環境では遅くなる場合があります。 できるかぎり、webGLの使える環境で動かしてください。 剛体の運動を考えるとき、剛体が今どのような位置関係を持っているかを3つの角度を使って表現するのが「オイラー角」である。 passiveな変換、すなわち座標系の方を回す変換として説明する。 図に示したように座標軸の向きを変える。 下の図では、その三つの角度を変更して、どういう変換を行っているかをアニメーションで見ることができる。 回転の向きはすべて右ねじが軸の方向に進むときに右ねじが回る向きである。 スライダーを動かしていろいろな値にして、確認しよう。 具体的計算結果は以下の通り。 これとは順番を変える定義もある。 ここで紹介したのと同じ回転を、操作の手順を少し変えて解釈して表すこともできる。 で説明されているので参考にしてください。 プログラムについて御質問、御要望、バグ報告などございましたら、くださるか、または、twitterにてまでメンションしてください。

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オイラー角による回転行列の表現

オイラー 角 回転 行列

概要 Unityは基本的に回転をクォータニオンで管理しています。 その他のエンジンも、おそらくクォータニオンで回転を制御していると思います。 というのも、オイラー角では「ジンバルロック」などの問題があるため、制御するのに不安定さがあるためです。 しかし、場合によってはオイラー角で値を求めたい場合があります。 Unityであれば、クォータニオンから簡単にオイラー角を取得することができますが、では内部ではどういう処理が行われているのか。 それを色々な記事を参考にまとめてみたいと思います。 クォータニオンから回転行列を取り出す まずはクォータニオンから回転行列を取り出します。 回転行列の要素から、オイラー角を推測するためです。 まるぺけさんのこちらの記事()を参考にさせてもらうと、クォータニオンの各成分から回転行列を求めることができるようです。 任意軸の回転行列 まず、任意軸の回転行列は以下のように構成されます。 一瞬、「なんでやねん」と思うかもしれませんが(自分は思いました)、倍角の公式などを使って展開してやるとしっかりとその値が出現します。 ちなみに三角関数の公式などは前にまとめた記事があるのでそちらも参照してみてください。 () 三角関数の公式を使って導き出す 倍角の公式は以下になります。 そして、Unityでの回転行列の作り方(各軸の回転行列のかける順番)は、上記記事と同じくZXYです。 これで無事、各値が求まった・・と思いきや、特殊なケースが存在します。 Cxが 0の場合、すべての値 0になってしまって答えを求めることができなくなってしまいます。 そこで、その特殊なケースを場合分けして以下のように考えます。 この状態のときだけ条件分岐してやればいいわけですね。 が、 実はよーく見てもらうと上で求めた式とは若干違う部分があります。 Atan2 m01 , m11 ; 引数に与えている成分のマイナス記号が逆になっているんですね。 そして、なぜここが逆転するのかは分かりませんでした・・。 ただ、マイナスを逆転したら正常に回転がコピーできました。 が、値としては想定した値になっていたので、ひとまずはOKとしました・・。 [追記] コメントで指摘してもらいましたが、そもそも参考にした記事が、座標変換のための回転行列と、位置ベクトルの回転行列による話で、そもそも対象としているのが違うためでは、ということでした。 「教えて!goo」に似た質問とそれに対する回答があったので追記しておきます。 見てもらうと分かりますが、まさに符号だけが逆転しているのが分かります。

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クォータニオンからオイラー角を求めてみる

オイラー 角 回転 行列

以前に投稿した ではオブジェクトの回転の状態を行列で表していましたが、 3 次元空間における回転を表現する方法は、次のように何通りか考えられます。 なお、原点を中心に回転させるものとし、回転角度は、回転軸を表すベクトルの方向に右ねじを押し込む場合を正とします。 3 次正方行列。 とくに、回転を表すものは直交行列であり、 が成り立つ• WPF では• 四元数 クォータニオン• 回転軸と回転角度から構成される値。 詳細の定義はを参照• WPF では• オイラー角 ロール、ピッチ、ヨー• 任意の回転を 3 回の単純な回転の合成により表す。 詳細の定義はを参照• 座標系ごと回転させる• ロール、ピッチ、ヨーをそれぞれどの軸に対応させるか、どの順番で作用させるかで結果が変わってしまうため注意が必要• 特定の 2 点の回転前後の座標• とくに、直交する 2 つのベクトルを用いるとよい 3D のプログラミングをしていると、API によってどの表現を利用するかが異なることがあります。 以下では、これらの表現を互いに変換する方法について考えます。 WPF では が用意されています。 WPF では として用意されています。 元の座標系における ヨー、ピッチ、ロールを表す回転行列をそれぞれ とし、それぞれの回転角度を とします。 すなわち、 このとき、 座標系ごとヨー、ピッチ、ロールの順に適用した回転は、 元の座標系で で表されます 適用の順序が逆になる。 証明は次のようにできますが、実際の回転をイメージするとわかりやすいと思います。 証明 ベクトル にヨーを作用させると、 次に、これにピッチを作用させるには、いったん座標系を戻して を作用させるから、 同様に、これにロールを作用させると、 証明終 WPF での実際の演算では四元数を使うとよいでしょう。 これらの回転後のベクトルがそれぞれ で与えられたとすると、オイラー角は以下の手続きにより求められます。 解 まず、 の x 要素と z 要素の比はピッチおよびロールの影響を受けないから、 により、 が決まる。 ピッチおよびロールの決め方から、 また、前項と同様に考えて、 であるから、 したがって、 も順に決まる。 なお、この決め方の場合、回転角度の範囲は、 となる。 終 arctan を求めるには、を使うとよいでしょう。 では、これらを実装してみます。 ベクトル、行列、四元数を扱うための という、WPF のライブラリよりも高機能なライブラリもあるのですが、 今回は WPF のライブラリのみを利用して実装したいと思います。 検索:• アーカイブ• RSS• 最近のツイート.

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